Willekeur?

Ik zit met een rekenprobleem, beter gezegd met een puzzeltje kansberekening, dat mij een mengeling van slapeloze nachten en wantrouwen oplevert.
Mijn hoop is dat er iemand is die mij aan een betrouwbare oplossing kan helpen en kan bevestigen of ontkennen dat mijn vermoeden juist is.

Zekere website verschaft mij toegang door een aan mij bekende zescijferige code in te typen. Daartoe krijg ik een rij voorgeschoteld met zes posities waarvan er, schier willekeurig, al drie zijn vooringevuld (hier de zwarte stippen) en er drie door mij moeten worden aangevuld (de open hokjes). Dat kunnen dan situaties zijn zoals er hier drie van zijn weergegeven. Ter informatie: op elke positie kan elk van de cijfers 0 t/m 9 voorkomen, dus de reeks 000000 is in principe even goed mogelijk als 123456 of 826631 of wat dan ook, maar ik ben gehouden aan de mij ooit verstrekte cijfercode.

Wat mij nu na jaren is opgevallen, is dat die verdeling van wel/niet vooringevulde plaatsen  meer dan statistisch zo uitpakt, dat ik na het invullen van het eerste opengebleven hokje precies de situatie krijg als in het plaatje hier helemaal bovenaan, dus met de 4e en 6e positie nog ter invulling openstaand.

Kansberekening is mijn vak niet. Maar als ik de indruk heb dat ik, die dagelijks de betreffende site bezoekt, in zeker de helft van de gevallen in de situatie kom dat 4 en 6 als laatste twee controlecijfers moeten worden ingevuld, dan lijkt mij dat in termen van kansberekening niet normaal, niet volstrekt willekeurig of random.

Concreet gezegd: kan iemand mij een gedegen en vooral overtuigende berekening aanreiken die aangeeft hoe groot de kans is dat na het invullen van het eerste cijfer uitsluitend en exact de posities 4 en 6 ter invulling overblijven?

Ik waag een proefondervindelijke poging:
Volgens mij zijn er precies 20 mogelijke invulmatrices, namelijk:

  1.    1-1-1-0-0-0
  2.    1-1-0-1-0-0
  3.    1-1-0-0-1-0
  4.    1-1-0-0-0-1
  5.    1-0-1-1-0-0
  6.    1-0-1-0-1-0
  7.    1-0-1-0-0-1
  8.    1-0-0-1-1-0
  9.    1-0-0-1-0-1
  10.    1-0-0-0-1-1
  11.    0-1-1-1-0-0
  12.    0-1-1-0-1-0
  13.    0-1-1-0-0-1
  14.    0-1-0-1-1-0
  15.    0-1-0-1-0-1
  16.    0-1-0-0-1-1
  17.    0-0-1-1-1-0
  18.    0-0-1-1-0-1
  19.    0-0-1-0-1-1
  20.    0-0-0-1-1-1

Daarbij betekent 1: positie van een in te vullen codecijfer, en betekent 0: een vooringevulde positie.
Van die 20 mogelijkheden zijn er precies 3 waarbij de posities 4 en 6 moeten worden ingevuld en waarbij tevens positie 5 is vooringevuld, te weten bij de vetgedrukte, rode mogelijkheden 9, 15 en 18. Dat komt dan neer op een kans van 3 op de 20, oftwel, afgerond, 1:6,66667 (=15%).
Vreemd is dat niet: immers, als 4 en 6 moeten worden ingevuld en 5 niet, dan blijft er voor het eerste in te vullen codecijfer alleen een van de posities 1, 2 of 3 over. Maar 3 op de 20 is aanmerkelijk onwaarschijnlijker dan de door mij bij oeverloos vaak inloggen geschatte kans van 1:2 (=50%). Dat laatste getal zal ik nu, eveneens proefondervindelijk, maar eens gaan staven, voordat ik de webmaster van bedoelde site ga ondervragen over de “volstrekte willekeur” van de voorgeschotelde matrix.

4 gedachten over “Willekeur?

  1. Invullen rechterkant kijkt me makkelijker omdat je dan het einde al ziet. Ook sneller want als je linkerkant eerst moet invullen moet je meer uitrekenen welk getal je moet hebben (eerst kijken op je papiertje en dan intypen) en dat kan vergissing geven. Ze hebben het dus gedaan voor de snelheid om inloggen.
    Jos

    • Jos, dat is geen berekening volgens de wetten van de kansberekening. Ik had een onwrikbaar, statistisch bewijs gevraagd waaruit “1/72e” of iets dergelijks volgt. Ik ben een bèta. Ik neem niet aan dat de bewuste site zich iets aantrekt van het gemak van de gebruiker; dan hadden ze wel een driecijferige code voorgeschreven of zoiets.
      Ik geloof niets van eventuele nobele psycho-/socio motieven. Het zijn graaiers. Wij zijn er voor hen, niet zij voor ons. Bovendien: stel dat jij gelijk zou hebben, dan is dat een argument te meer om te betwisten dat de verdeling van open en vooringevulde hokjes volstrekt willekeurig is. Alleen wil ik daarvan een onwrikbaar bewijs hebben.

  2. Ik keeg de link naar deze vraag van José. Ik ben evenmin statisticus, maar het lijkt me dat je ‘proefondervindelijke poging’ correct is. Iets anders berekend: er zijn twintig mogelijke invullijstjes, ieder met gelijke kans. Als je in ieder van die lijstjes het eerste cijfer invult, i.e. de eerste 1 door 0 vervangt, vindt je er slechts drie met de 0 op posities 4 en 6. De kans dat dit optreedt is dus 3/20, 15%.

    • Fred,
      Grappig, maar wel logisch: ook zonder de eerste 1 door 0 te vervangen blijven er ook precies drie rijtjes over (namelijk 3, 6 en 12) met een 0 op positie 4 en 6, en een 1 op positie 5. Dat lijkt me in zoverre logisch, dat het in feite niks uitmaakt of je met 1 bedoelt “vooringevuld” en met 0 “nog in te vullen”, of juist omgekeerd; in beide gevallen is de kans op “4 en 6 wèl, maar 5 niet in te vullen” identiek.

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

Deze website gebruikt Akismet om spam te verminderen. Bekijk hoe je reactie-gegevens worden verwerkt.